FUNCIÓN
EXPONENCIAL VS FUNCIÓN LOGARÍTMICA
FUNCIÓN
EXPONENCIAL
Definición
La función exponencial
es del tipo: f(x)=ax
Sea a un número real
positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia
ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
La función exponencial
tiene una gráfica que se acerca mucho al eje x porque se extiende a la izquierda
(conforme x se vuelve más negativa), pero nunca toca el eje x. Conocer la forma
general de las funciones exponenciales es útil para graficar ecuaciones o funciones
exponenciales específicas. Hacer una tabla de valores también es útil, porque
puedes usar la tabla para encontrar la curva de la gráfica con más precisión.
Algo que recordar es que la base tiene un exponente negativo, entonces tomas el
recíproco de la base para hacer el exponente positivo.
Crecimiento exponencial
Esta función
exponencial tiene una gráfica que se acerca mucho al eje x porque se extiende a
la izquierda (conforme x se vuelve más negativa), pero nunca toca el eje x.
Conocer la forma general de las funciones exponenciales es útil para graficar
ecuaciones o funciones exponenciales específicas.
Decaimiento exponencial
Para las funciones
exponenciales, b > 0, pero b ≠ 1.
Características
En una función
exponencial por ejemplo y = 2^x
Ø Cuando x < 0
entonces 0 < y < 1
Ø Cuando x = 0 entonces
y = 1
Ø Cuando x > 0
entonces 1 < y < infinito
Ø La función nunca toca
el cero y es asíntota al eje X
Aplicación en la vida real
La función exponencial
sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento (o
disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había
al comienzo del mismo.
A continuación se ven
tres aplicaciones:
Ø Crecimiento de
poblaciones.
Ø Interés del dinero
acumulado.
Ø Desintegración
radioactiva.
FUNCIÓN
LOGARÍTMICA
Definición
Una función
logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax,
siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica
es la inversa de la función exponencial
Propiedades de la función logarítmica
Ø Las propiedades
generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa,
la función exponencial. Así, se tiene que:
Ø La función logarítmica
sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su
dominio es el intervalo (0,+¥).
Ø Las imágenes obtenidas
de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento
del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
Ø En el punto x = 1, la
función logarítmica se anula, ya que loga1 = 0, en cualquier base.
Ø La función logarítmica
de la base es siempre igual a 1.
Ø Finalmente, la función
logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a <
1.
Características
En una función
logarítmica
Ø X > 0 porque
logaritmo no está definido para números negativos ni al cero.
Ø Cuando 0 < x < 1
entonces y < 0
Ø Cuando x = 1 entonces
y = 0
Ø Cuando x > 1
entonces y > 0
Ø La función nunca toca
cero y es asíntota al eje Y
Aplicación en la vida real
Un ejemplo de uso de
los logaritmos es por ejemplo, si conoces la tasa de crecimiento promedio de
una población, y quieres saber cuántos años tardará en llegar a cierta cantidad
(por ejemplo duplicarse) necesitas el logaritmo. Para que entiendas este ejemplo,
dada una población (base) y otra cantidad a la que hay que llegar (potencia),
cuántas veces hay que aplicar la tasa de crecimiento (exponente) para llegar a
esa cantidad; lo que necesitas obtener es el exponente, por lo que usas
logaritmos.
Una curiosidad de
aplicaciones de logaritmos en la vida real es la siguiente, en el testamento de
Benjamin Franklin, famoso científico, éste donaba 1.000 libras a los habitantes
de Boston, a condición de que se prestasen al 5% a artesanos jóvenes. Según
Franklin, al cabo de 100 años, se habrían convertido en 131.000 libras.
DIFERENCIAS
Ø La función logarítmica
es inversa a la función exponencial.
Ø La función exponencial
es asíntota al eje x y la logarítmica al eje y
Ø Las funciones y=f(x) y
y=g(x) son simétricas en el plano cartesiano
Ø Las funciones
exponenciales cortan el plano en el punto (0,1) y las logarítmicas en el (1,0)
Ø El eje de simetría
entre una función exponencial y una función logarítmica está dado por la
relación x=y